Quantum Monte Carlo method in details.
I.
CONTINUOUS AND DISCRETE HUBBARD-STRATONOVICH TRANSFORMATIONS
The HS transformation is based on identity :
Z+∞
11
exp{ A2} = (2)−1/2 dx exp{− x 2 − xA} (1)
22
−∞
This identity allows to map interacting fermion system onto the system of noninteracting fermions coupled with fluctuating auxilary field. One uses a path integral formulation of a problem to eliminate the interaction term. We divide the imaginary time interbal [0,] into Lequal subintervals of width τ : Lτ = .
After doing that we can rewrite equation for the partitionfunction Z as:
2⎡ 3⎤
LZβ
Z = T re−(H0+H1) = Tr e −(H0+H1) ≈ Tr 4Tτ exp 4− d(H0 + H1)5⎦ + O(()2) (2) i=1
0
Now we can describe notion continuous and descrete HB.
A.
Continuous
Let us consider the hamiltonian with interaction term in the following form:
1
Hi = U [nini+1 − (ni + ni+1)], (3)
2
i
then using well-known relation for the occupation numbers:
11
nini+1 = − (ni − ni+1)2 +(ni + ni+1) (4)
22
we can rewrite the interaction part of the hamiltonian as
1 U
Hi = U [nini+1 − (ni + ni+1)] = − (ni + ni+1)2 . (5)
22
ii
Now using the HS trasformation we get for each time interval:
"� β � N� β � �
X� √
2
exp dτ U (ni + ni+1)2 = (2)−N/2 dxi,i+1 exp dτ − 1 xi,i+1 − xi,i+1 U(ni + ni+1) , 0 2 0 2
ii=1
where xi,i+1 is a bosonic field associated with the link i → i +1. Now the Hamiltonian is has quadratic form in fermion operators, the trace over the fermionic degree of freedom can be taken analytically, and the partition function takes the form:
� N"� β
Z = (2)−N/2 dxi,i+1e −Sb det 1+ Tτ dh() ,
0
i=1
� β �
12
where Sb = dτ xi,i+1,is the bosonic part of the action.
0 i 2
1
h(τ ) is the N × N matrix, where N is the size of the system.
Let us define N × N matrix for each time slice:
Bl = exp(−h(l)).
Using this definition we can write
� N
Z = (2)−NL/2 dxie −Sb det[1 + BLBL−1...B1] . i=1
B.
Descrete
Main Idea: fermion occupancies can take only the values 0 and 1 and the files that can take only two values must be enough to eliminate the fermion interaction.
We use the following identity:
1
−Un"n#+(e
U/2)(n"+n#) = 2
s(n"e
−n#),
(6)
s=±1
where λ = arccosh(eU/2) and the discrete field s is an Ising-like variable taking the values ±1. Taking the trace over fermion degree of freedom we get:
Z = det 1+ Tτ −h(l) ,
s=±1 l
where h(l) is the same N × N matrix, but with descrete variables s instead continuous x. Using the same expression for Bl we get the following fomr for the partition function:
Z = det [1 + BLBL−1...B1] . sl =±1
(Notice: There is NO bosonic part!)
C.
A few words about Metropolis algorithm.
Now we need to go over all spin configurations and compute the corresponding action. While walking we accept or reject new configuration in a way that assures that once the equiliblium has been reached the probability of a particular field configuration is proportiaonal to exp(−S), where S is the action. For the fermionic system the effective action exp(−S) = exp(−Sb) det(M) is non-local and is compuatation is very time consuming.
2
II.
METHODS OF SOLUTION
As explained in the previous sections, lattice models of correlated fermions can be mapped, in the limit of infinite coordination number, onto a single-impurity model which has to satisfy a self-consistency condition. This condition specifies, for a given lattice, the relation between the Weiss function G0 (entering the impurity model effective action) and the local Green’s function G. On the other hand, G itself is obtained by solving the effective impurity model. Hence, we have a coupled problem to solve for both G and G0. In practice, all methods deal with this coupled problem in an iterative manner: the local Green’s function is obtained by solving the impurity effective action given a G0 (in the first step a guess for G0 is used). Then, the calculated G (and the self-energy ) is used as an input into the self-consistency condition to produce a new Weiss function G0. The process is iterated until a converged solution (G, G0) is reached. Knowing this converged solution, all k-dependent response functions can be constructed from the impurity model response functions.
To be definite, we concentrate in this section on the case in which the impurity model effective action has the form given by:
� β � β � β
+
Seff = − dτ dτ � cσ (τ )G0 −1(τ − 0)c(τ 0)+ U dn"()n#(τ ) (7)
00 0
σ
that corresponds to the local site of the single-impurity Anderson model. In the LISA framework, the {c, c+}operators are associated with a local fermionic variable of the lattice problem.
The most difficult step in the iterative procedure is the repeated solution of the impurity model, for an essentially arbitrary G0 (i.e. an arbitrary conduction electron effective bath). Even though spatial degrees of freedom have been eliminated, the impurity model remains a true many-body problem. It is crucial to use reliable methods to handle it
النتائج (
العربية) 1:
[نسخ]نسخ!
الكم طريقة Carlo مونتي في التفاصيل. أنا. التحولات المستمرة والمنفصلة هوبارد--ستراتونوفيتش تحول النظام المنسق على الهوية: Z + ∞ 11 أكسب {A2} = (2) 1/2 dx أكسب {− x 2 − xA} (1)22 −∞ هذه الهوية يسمح لتعيين نظام فرميون المتفاعلة على نظام نونينتيراكتينج الفرميونات مقترنة بتقلب ميلشيا الميدانية. واحد يستخدم صيغة مسار لا يتجزأ من مشكلة القضاء على مصطلح التفاعل. نحن تقسيم الوقت وهمي إينتيربال [0]، سوبينتيرفالس ليكال من τ العرض: L τ =. بعد القيام بذلك نحن يمكن كتابة معادلة بارتيتيونفونكشن Z ك: 2⎡ 3⎤ LZΒ Z = T re− (H0 + H1) = Tr e − (H0 + H1) ≈ Tr 4Tτ أكسب 4− د (H0 + H1) 5⎦ + O (() 2) (2) أنا = 1 0 الآن يمكننا وصف مفهوم المستمر و descrete غبطة. ألف المستمر فلننظر هاميلتون مع مصطلح التفاعل بالشكل التالي: 1 مرحبا ش = [نيني + 1 − (ني + ني + 1)]، (3)2 أنا ثم استخدام علاقة معروفة جيدا للأرقام الاحتلال: 11 نيني + 1 = − (ني − ني + 1) 2 (ني ني + 1) (4)22 نحن يمكن كتابة جزء هاملتون كالتفاعل 1 U مرحبا ش = [نيني + 1 − (ني + ني + 1)] = − (ني + ني + 1) 2. (5)22 ثانيا وتستخدم الآن تراسفورميشن HS نحصل على كل الفاصل الزمني: "� β � N� β � � X √ 2أكسب dτ ش (ني + ني + 1) 2 = (2) −N/2 dxi، أنا + 1 أكسب dτ − 1 الحادي عشر، أنا حادي عشر 1 −، وأنا + + 1 يو (ني ني + + 1)، 0 2 0 2 الثاني = 1 أين هو الحادي عشر، وأنا + 1 حقل بوسونيك المرتبطة بالارتباط أنا ← أنا + 1. الآن هاملتون قد شكل التربيعية في مشغلي فرميون والتتبع على درجة الحرية فيرميونيك يمكن أن تؤخذ من الناحية التحليلية، ووظيفة التقسيم يأخذ الشكل: Β ن " Z = (2) −N/2 dxi، أنا + 1e −Sb ديت 1 + Tτ د ح ()، 0أنا = 1 � β � 12حيث س = dτ الحادي عشر، وأنا + 1، وهو الجزء بوسونيك من العمل. 0 2 1 ح (τ) هي المصفوفة × N N, حيث N هو حجم النظام. تعريف N × N مصفوفة لكل شريحة الوقت: Bl = أكسب (ح − (l)). باستخدام هذا التعريف يمكن أن نكتب NZ = ديت −Sb دكسي −NL/2 (2) [1 + BLBL−1... B1]. أنا = 1 باء Descrete الفكرة الرئيسية: أشغال فرميون يمكن أن تأخذ فقط القيم 0 و 1، والملفات التي يمكن أن تأخذ قيمتين فقط يجب أن تكون كافية للقضاء على التفاعل فرميون. نقوم باستخدام هوية التالية: 1− من الأمم المتحدة "ن #+ (ه U/2)(n"+n#) = 2 s (ن ه " −n#), (6) s = ± 1 حيث λ = أرككوش (U/2 ه) والمنفصلة في ميدان s متغير مثل استخدام أخذ ± 1 القيم. نحصل على تولي التتبع فرميون درجة من الحرية: Z = ديت 1 + Tτ − h(l)، s = ± 1 لتر حيث h(l) هو نفس المصفوفة × ن ن، ولكن مع descrete المتغيرات s المستمر بدلاً من العاشر-باستخدام نفس التعبير ل Bl نحصل الحرجية التالية للدالة القسم: Z = ديت [1 + BLBL−1... B1]. س = ± 1 (ملاحظة: لا يوجد بوسونيك جزء!) جيم بضع كلمات حول خوارزمية متروبوليس. Now we need to go over all spin configurations and compute the corresponding action. While walking we accept or reject new configuration in a way that assures that once the equiliblium has been reached the probability of a particular field configuration is proportiaonal to exp(−S), where S is the action. For the fermionic system the effective action exp(−S) = exp(−Sb) det(M) is non-local and is compuatation is very time consuming. 2 II. METHODS OF SOLUTION As explained in the previous sections, lattice models of correlated fermions can be mapped, in the limit of infinite coordination number, onto a single-impurity model which has to satisfy a self-consistency condition. This condition specifies, for a given lattice, the relation between the Weiss function G0 (entering the impurity model effective action) and the local Green’s function G. On the other hand, G itself is obtained by solving the effective impurity model. Hence, we have a coupled problem to solve for both G and G0. In practice, all methods deal with this coupled problem in an iterative manner: the local Green’s function is obtained by solving the impurity effective action given a G0 (in the first step a guess for G0 is used). Then, the calculated G (and the self-energy ) is used as an input into the self-consistency condition to produce a new Weiss function G0. The process is iterated until a converged solution (G, G0) is reached. Knowing this converged solution, all k-dependent response functions can be constructed from the impurity model response functions. أن تكون محددة، علينا أن نركز في هذا القسم على القضية التي بشوائب نموذج العمل الفعال قد شكل قدمها: Β Β Β +سف = − dτ dτ cσ (τ) G0 1 (τ − 0) ج (τ 0) + U ن د "() ن #(τ) (7) 00 0Σ أن يماثل إلى الموقع المحلي نموذج أندرسون شوائب واحد. في الإطار، وليزا مشغلي {ج، ج +} المرتبطة بمتغير محلي فيرميونيك مشكلة شعرية. أن الخطوة الأكثر صعوبة في عملية تكرارية هو الحل المتكررة نموذج شوائب، من أجل G0 تعسفي أساسا (أي توصيل تعسفي إلكترون فعالة حمام). حتى ولو أزيلت المكانية درجات الحرية، نموذج شوائب يظل مشكلة العديد من الجسم حقيقي. من الأهمية بمكان استخدام الأساليب الموثوقة للتعامل معها
يجري ترجمتها، يرجى الانتظار ..