Home | Purchase | Search

Home | Purchase | Search






















Geometry Standard for Grades 6–8
Expectations
Instructional programs from prekindergarten through grade 12 should enable all students to— In grades 6–8 all students should—
Analyze characteristics and properties of two- and three-dimensional geometric shapes and develop mathematical arguments about geometric relationships • precisely describe, classify, and understand relationships among types of two- and three-dimensional objects using their defining properties;
• understand relationships among the angles, side lengths, perimeters, areas, and volumes of similar objects;
• create and critique inductive and deductive arguments concerning geometric ideas and relationships, such as congruence, similarity, and the Pythagorean relationship.

Specify locations and describe spatial relationships using coordinate geometry and other representational systems • use coordinate geometry to represent and examine the properties of geometric shapes;
• use coordinate geometry to examine special geometric shapes, such as regular polygons or those with pairs of parallel or perpendicular sides.

Apply transformations and use symmetry to analyze mathematical situations • describe sizes, positions, and orientations of shapes under informal transformations such as flips, turns, slides, and scaling;
• examine the congruence, similarity, and line or rotational symmetry of objects using transformations.

Use visualization, spatial reasoning, and geometric modeling to solve problems • draw geometric objects with specified properties, such as side lengths or angle measures;
• use two-dimensional representations of three-dimensional objects to visualize and solve problems such as those involving surface area and volume;
• use visual tools such as networks to represent and solve problems;
• use geometric models to represent and explain numerical and algebraic relationships;
• recognize and apply geometric ideas and relationships in areas outside the mathematics classroom, such as art, science, and everyday life.


Students should come to the study of geometry in the middle grades with informal knowledge about points, lines, planes, and a variety of two-and three-dimensional shapes; with experience in visualizing and drawing lines, angles, triangles, and other polygons; and with intuitive notions about shapes built from years of interacting with objects in their daily lives.
In middle-grades geometry programs based on these recommendations, students investigate relationships by drawing, measuring, visualizing, comparing, transforming, and classifying geometric objects. Geometry provides a rich context for the development of mathematical reasoning, including inductive and deductive reasoning, making and validating conjectures, and classifying and defining geometric objects. Many topics treated in the Measurement Standard for the middle grades are closely connected to students' study of geometry.

Analyze characteristics and properties of two- and three-dimensional geometric shapes and develop mathematical arguments about geometric relationships
Middle-grades students should explore a variety of geometric shapes and examine their characteristics. Students can conduct these explorations using materials such as geoboards, dot paper, multiple-length cardboard strips with hinges, and dynamic geometry software to create two-dimensional shapes.
Students must carefully examine the features of shapes in order to precisely define and describe fundamental shapes, such as special types of quadrilaterals, and to identify relationships among the types of shapes. A teacher might ask students to draw several parallelograms on a coordinate grid or with dynamic geometry software. Students should make and record measurements of the sides and angles to observe some of the characteristic features of each type of parallelogram. They should then generate definitions for these shapes that are correct and consistent with the commonly used ones and recognize the principal relationships among elements of these parallelograms. A Venn diagram like the one shown in figure 6.14 might be used to summarize observations that a square is a special case of a rhombus and rectangle, each of which is a special case of a parallelogram.

Fig. 6.14. A diagram showing the relationship among types of parallelograms



p. 233 The teacher might also ask students to draw the diagonals of multiple examples of each shape, as shown in figure 6.15, and then measure the lengths of the diagonals and the angles they form. The results can be summarized in a table like that in figure 6.16. Students should observe that the diagonals of these parallelograms bisect each other, which they might propose as a defining characteristic of a parallelogram. Moreover, they might observe, the diagonals are perpendicular in rhombuses (including squares) but not in other parallelograms and the diagonals are of equal length in rectangles (including squares) but not in other parallelograms. These observations might suggest other defining characteristics of special quadrilaterals, for instance, that a square is a parallelogram with diagonals that are perpendicular and of equal » length. Using dynamic geometry software, students could explore the adequacy of this definition by trying to generate a counterexample.

Fig. 6.15. Students can draw the diagonals of parallelograms to make further observations.



Fig. 6.16. A table of students' observations about the properties of the diagonals of special types of quadrilaterals


Middle-grades students also need experience in working with congruent and similar shapes. From their earlier work, students should understand that congruent shapes and angles are identical and can be "matched" by placing one atop the other. Students can begin with an intuitive notion of similarity: similar shapes have congruent angles but not necessarily congruent sides. In the middle grades, they should extend their understanding of similarity to be more precise, noting, for instance, that similar shapes "match exactly when magnified or shrunk" or that their corresponding angles are congruent and their corresponding sides are related by a scale factor.
Students can investigate congruence and similarity in many settings, including art, architecture, and everyday life. For example, observe the overlapping pairs of triangles in the design of the kite in figure 6.17. The overlapping triangles, which have been disassembled in the figure, can be shown to be similar. Students can measure the angles of the triangles in the kite and see that their corresponding angles are congruent. They can measure the lengths of the sides of the triangles and see that the differences are not constant but are instead related by a constant scale factor. With the teacher's guidance, students can thus begin to develop a more formal definition of similarity in terms of relationships among sides and angles.

Fig. 6.17. Kite formed by overlapping triangles



p. 234

Linking Length, Perimeter, Area, and Volume
Investigations into the properties of, and relationships among, similar shapes can afford students many opportunities to develop and evaluate conjectures inductively and deductively. For example, an investigation of the perimeters, areas, and side lengths of the similar and » congruent triangles in the kite example could reveal relationships and lead to generalizations. Teachers might encourage students to formulate conjectures about the ratios of the side lengths, of the perimeters, and of the areas of the four similar triangles. They might conjecture that the ratio of the perimeters is the same as the scale factor relating the side lengths and that the ratio of the areas is the square of that scale factor. Then students could use dynamic geometry software to test the conjectures with other examples. Students can formulate deductive arguments about their conjectures. Communicating such reasoning accurately and clearly prepares students for creating and understanding more-formal proofs in subsequent grades.

Specify locations and describe spatial relationships using coordinate geometry and other representational systems
Geometric and algebraic representations of problems can be linked using coordinate geometry. Students could draw on the coordinate plane examples of the parallelograms discussed previously, examine their characteristic features using coordinates, and then interpret their properties algebraically. Such an investigation might include finding the slopes of the lines containing the segments that compose the shapes. From many examples of these shapes, students could make important observations about the slopes of parallel lines and perpendicular lines. Figure 6.18 helps illustrate for one specific rhombus what might be observed in general: the slopes of parallel lines (in this instance, the opposite sides of the rhombus) are equal and the slopes of perpendicular lines (in this instance, the diagonals of the rhombus) are negative reciprocals. The slopes of the diagonals are

and


Fig. 6.18. A rhombus drawn on the coordinate plane



Apply transformations and use symmetry to analyze mathematical situations
Transformational geometry offers another lens through which to investigate and interpret geometric objects. To help them form images of shapes through different transformations, students can use physical objects, figures traced on tissue paper, mirrors or other reflective surfaces, figures drawn on graph paper, and dynamic geometry software. They should explore the characteristics of flips, turns, and slides and should investigate relationships among compositions of transformations. These experiences should help students develop a strong understanding of line and rotational symmetry, scaling, and properties of polygons.
p. 235

Congruence, Similarity

النتائج (العربية) 1:

منزل | شراء | البحث






















القياسية الهندسة للصفوف 6-8 وينبغي

التوقعات البرامج التعليمية من مرحلة ما قبل الروضة حتى الصف 12 تمكين جميع الطلبة لفي الصفوف 6-8 جميع الطلاب ينبغي
تحليل خصائص وخصائص يومين وأشكال هندسية ثلاثية الأبعاد وتطوير حجج رياضية عن العلاقات الهندسية • تصف على وجه التحديد، وتصنيف، وفهم العلاقات بين أنواع الكائنات ثنائية وثلاثية الأبعاد باستخدام خصائص تعريف بهم؛
• فهم العلاقات بين الزوايا، أطوال الأضلاع، محيط، المناطق،وأحجام الأجسام مماثلة؛
• إنشاء ونقد الحجج الاستقرائي والاستنباطي بشأن الأفكار والعلاقات الهندسية، مثل التطابق، التشابه، والعلاقة فيثاغورس.

تحديد المواقع ووصف العلاقات المكانية باستخدام الهندسة الإحداثية وأنظمة التمثيل الأخرى • استخدام الهندسة الإحداثية لتمثيل ودراسة خصائص الأشكال الهندسية، واستخدام الهندسة الإحداثية
• لدراسة الأشكال الهندسية الخاصة، مثل المضلعات المنتظمة أو تلك مع أزواج من موازية أو عمودية الجانبين.

تطبيق تحويلات واستخدام التماثل لتحليل المواقف الرياضية • تصف الأحجام، والمواقف، والتوجهات من الأشكال تحت التحولات غير الرسمية مثل تقلب، يتحول، والشرائح، والتوسع؛
• فحص التطابق، التشابه، والتماثل أو خط دوران الكائنات باستخدام التحولات .

استخدام التصور والتفكير المكاني،والنمذجة الهندسية في حل المشاكل • رسم الأشكال الهندسية ذات خصائص محددة، مثل أطوال الأضلاع أو تدابير زاوية؛
• استخدام تمثيلات ثنائية الأبعاد للأجسام ثلاثية الأبعاد لتصور وحل مشاكل مثل تلك التي تنطوي على مساحة وحجم؛
• استخدام الأدوات البصرية مثل شبكات لتمثيل وحل المشاكل؛
• استخدام النماذج الهندسية لتمثيل وشرح العلاقات العددية والجبرية؛
• الاعتراف وتطبيق الأفكار والعلاقات الهندسية في المناطق خارج الفصول الدراسية الرياضيات، مثل الفن، والعلوم، والحياة اليومية.


يجب أن يأتي الطلاب لدراسة الهندسة في الصفوف المتوسطة مع المعرفة غير الرسمية حول النقاط والخطوط والطائرات وومجموعة متنوعة من يومين والأشكال ثلاثية الأبعاد، مع خبرة في تصور ورسم خطوط والزوايا والمثلثات، والمضلعات الأخرى؛ ومع مفاهيم بديهية حول الأشكال بنيت من سنوات من التفاعل مع الأشياء في حياتهم اليومية.
في برامج الهندسة الدرجات المتوسطة بناء على هذه التوصيات، والطلاب عن طريق رسم العلاقات التحقيق، وقياس، تصور، مقارنة،تحويل، وتصنيف الأشكال الهندسية. يوفر الهندسة سياق الغنية لتنمية التفكير الرياضي، بما في ذلك الاستقرائي والاستنباطي التفكير، مما يجعل التحقق من صحة والتخمين، وتصنيف وتحديد الأشكال الهندسية. ترتبط العديد من المواضيع المعالجة في مستوى قياس الصفوف المتوسطة ارتباطا وثيقا دراسة الطلاب من الهندسة.

تحليل خصائص وخصائص يومين وأشكال هندسية ثلاثية الأبعاد وتطوير حجج رياضية عن العلاقات الهندسية ينبغي متوسطى درجات الطلاب
استكشاف مجموعة متنوعة من الأشكال الهندسية ودراسة خصائصها. يمكن للطلاب إجراء هذه الاستكشافات باستخدام مواد مثل geoboards، ورقة نقطة، متعددة طول شرائط من الورق المقوى مع المفصلات،وبرنامج الهندسة الحيوية لإنشاء الأشكال ثنائية الأبعاد.
يجب على الطلاب تدرس بعناية الميزات من الأشكال من أجل تحديد بدقة ووصف الأشكال الأساسية، مثل أنواع خاصة من الأشكال الرباعية، وتحديد العلاقات بين أنواع من الأشكال. المعلم قد يسأل الطلاب لرسم عدة متوازيات الأضلاع على تنسيق الشبكة أو مع برنامج الهندسة الحيوية.ويجب على الطلبة تقديم والقياسات سجل من الجانبين وزوايا لمراقبة بعض من السمات المميزة لكل نوع من متوازي الاضلاع. ثم ينبغي أن تولد تعريفات لهذه الأشكال التي هي صحيحة ومتسقة مع تلك التي يشيع استخدامها والتعرف على العلاقات بين العناصر الرئيسية لهذه متوازيات الأضلاع. رسم تخطيطي فين مثل واحد هو مبين في الشكل 6.14 يمكن أن تستخدم لتلخيص الملاحظات أن المربع هو حالة خاصة من المعين والمستطيل، كل منها هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع.

التين. 6.14. رسم تخطيطي يبين العلاقة بين أنواع من متوازيات الأضلاع



ع. 233 معلم ويمكن أيضا اطلب من الطلاب أن يوجه الأقطار من أمثلة متعددة من كل شكل، كما هو مبين في الشكل 6.15،ومن ثم قياس أطوال الأقطار والزوايا أنها تشكل. النتائج يمكن تلخيصها في جدول من هذا القبيل في الشكل 6.16. الطلاب يجب أن نلاحظ أن هذه الأقطار متوازيات الأضلاع شطر بعضها البعض، والتي قد تقترح بمثابة السمة المميزة لمتوازي الأضلاع. وعلاوة على ذلك، لأنها قد نلاحظ،أقطار هي عمودي في معينات (بما في ذلك الساحات) ولكن ليس في متوازيات الأضلاع الأخرى وأقطار هي متساوية الطول في مستطيلات (بما في ذلك الساحات) ولكن ليس في متوازيات الأضلاع الأخرى. هذه الملاحظات قد توحي الخصائص المميزة الأخرى من الأشكال الرباعية الخاصة، على سبيل المثال،أن المربع هو متوازي الاضلاع مع الأقطار التي هي متعامدة والمساواة »طول. باستخدام برامج الهندسة الحيوية، ويمكن للطلاب استكشاف مدى كفاية هذا التعريف من خلال محاولة إنشاء مضاد.

التين. 6.15. يمكن للطلاب رسم الأقطار من متوازيات الأضلاع لإحراز المزيد من الملاحظات.



التين. 6.16.جدول الملاحظات الطلاب حول خصائص الأقطار من أنواع خاصة من الأشكال الرباعية


متوسطى درجات الطلاب أيضا بحاجة إلى خبرة في العمل مع الأشكال المنسجمة ومماثلة. من عملهم في وقت سابق، أن الطلاب على فهم أن الأشكال المنسجمة والزوايا متطابقة ويمكن أن يكون "مطابقة" من خلال وضع واحدة فوق الأخرى.يمكن للطلاب تبدأ مع فكرة بديهية من التشابه: الأشكال المماثلة لها زوايا متطابقة ولكن ليس بالضرورة الجانبين متطابقة. في الصفوف المتوسطة، ينبغي أن تمتد فهمهم للتشابه لنكون أكثر دقة، مشيرا، على سبيل المثال،الأشكال التي تشبه "المباراة بالضبط عندما تضخيم أو تقلصت" أو أن الزوايا المقابلة لها هي متطابقة وترتبط الجانبين يناظرها من قبل عامل المقياس.
يمكن للطلاب تحقيق التطابق والتشابه في كثير من الأماكن، بما في ذلك الفن، والهندسة المعمارية، والحياة اليومية. على سبيل المثال، لاحظ أزواج تداخل مثلثات في تصميم طائرة ورقية في الشكل 6.17.مثلثات متداخلة، والتي تم تفكيكها في الشكل، يمكن أن تظهر لتكون مشابهة. يمكن للطلاب قياس زوايا المثلثات في طائرة ورقية، ويرى في الزوايا المقابلة لها متطابقة. يمكنهم قياس أطوال الجانبين من مثلثات ونرى أن الاختلافات ليست ثابتة ولكنها بدلا من ذلك تتعلق بعامل مقياس ثابت.مع توجيه المعلم، وبالتالي يمكن للطلاب البدء في وضع تعريف أكثر رسمية من التشابه من حيث العلاقات بين الجانبين والزوايا.

التين. 6.17. طائرة ورقية شكلتها تداخل مثلثات



ع. 234

طول الربط، المحيط، المنطقة، وحجم
التحقيقات في خصائص، والعلاقات بين،يمكن أن الأشكال مماثلة تحمل الطلاب العديد من الفرص لتطوير وتقييم التخمين بالحث واستنتاجيا. على سبيل المثال، يمكن أن تحقيقا للمحيط، والمناطق، وأطوال الأضلاع من مثلثات المتطابقه مماثلة و»في المثال طائرة ورقية تكشف عن العلاقات وتؤدي إلى التعميم.المعلمين قد يشجع الطلاب على صياغة التخمينات حول نسب أطوال الجانب، من محيطها، ومناطق مثلثات مماثلة الأربعة. لأنها قد نخمن أن نسبة محيط هو نفس العامل على نطاق وربط أطوال الأضلاع وأن نسبة المناطق هو مربع من أن عامل المقياس.ثم يمكن للطلاب استخدام برامج الهندسة الديناميكية لاختبار التخمين مع أمثلة أخرى. يمكن للطلاب صياغة الحجج استنتاجي حول التخمينات الخاصة بهم. التواصل هذا النوع من التفكير بدقة ووضوح وإعداد الطلاب لخلق وفهم البراهين أكثر النظامي في الصفوف اللاحقة.

تحديد المواقع ووصف العلاقات المكانية باستخدام تنسيق النظم التمثيلية الأخرى الهندسة و
هندسية وتمثيل جبري من المشاكل يمكن أن تكون مرتبطة باستخدام الهندسة الإحداثية. الطلاب يمكن الاعتماد على تنسيق أمثلة الطائرة من متوازيات الأضلاع التي نوقشت سابقا، ودراسة خصائصها المميزة باستخدام الإحداثيات،ثم تفسير ممتلكاتهم جبريا. ويمكن أن تشمل مثل هذا التحقيق العثور على سفوح خطوط تحتوي على شرائح التي تؤلف الأشكال. من أمثلة كثيرة من هذه الأشكال، يمكن الطلاب تقديم ملاحظات هامة حول سفوح خطوط متوازية ومتعامدة خطوط. الرقم 6.18 يساعد توضيح لأحد دالتون محددة ما يمكن لوحظ بشكل عام:سفوح خطوط متوازية (في هذا المثال، فإن طرفي نقيض في دالتون) متساوون والمنحدرات من خطوط عمودية (في هذا المثال، فإن الأقطار من دالتون) هي مقلوب سلبية. المنحدرات من أقطار هي




والتين. 6.18. دالتون رسمها على تنسيق الطائرة



تطبيق تحويلات واستخدام التماثل لتحليل المواقف الرياضية
الهندسة التحويلية يقدم عدسة أخرى يمكن من خلالها للتحقيق وتفسير الأشكال الهندسية. لمساعدتهم على تشكيل الصور من الأشكال من خلال تحولات مختلفة، ويمكن للطلاب استخدام الأشياء المادية، أرقام تتبع على المناديل الورقية، والمرايا أو السطوح العاكسة الأخرى، وشخصيات مرسومة على ورقة الرسم البياني، وبرامج الهندسة الديناميكية. ينبغي استكشاف خصائص تقلب،يتحول، والشرائح، وينبغي التحقيق في العلاقات بين التراكيب من التحولات. وينبغي لهذه التجارب تساعد الطلاب على تطوير فهم قوي من خط التماثل والتناوب، والتوسع، وخصائص المضلعات.
ع. 235

التطابق، التشابه

النتائج (العربية) 2:

الصفحة الرئيسية | شراء | البحث






















"الهندسة القياسية" للصفوف من 6-8
توقعات
البرامج التعليمية من بريكينديرجارتين من خلال الصف 12 ينبغي تمكين جميع الطلاب – ينبغي أن جميع الطلاب في الصفوف من 6 إلى 8 –
تحليل خصائص الأشكال الهندسية ثنائية وثلاثية الأبعاد والخصائص وتطوير حجج رياضية حول العلاقات الهندسية • أدق وصف، وتصنيف، وفهم العلاقات بين أنواع الكائنات ثنائي وثلاثي الأبعاد باستخدام الخصائص المميزة الخاصة بهم؛
• فهم العلاقات بين الزوايا، وأطوال الجانب، ومحيطاتها، والمناطق، ووحدات التخزين من كائنات مماثلة؛
• إنشاء ونقد استقرائي واستنتاجي الحجج المتعلقة بالأفكار الهندسية والعلاقات، مثل التطابق والتشابه، وعلاقة فيثاغورس.

تحديد المواقع ووصف العلاقات المكانية باستخدام تنسيق الهندسة والنظم التمثيلية الأخرى • استخدام هندسة تنسيق تمثيل ودراسة خصائص الأشكال الهندسية؛
• استخدام تنسيق الهندسة دراسة الأشكال الهندسية الخاصة، مثل المضلعات المنتظمة أو تلك مع أزواج من الجانبين موازية أو متعامدة.

تطبيق التحويلات واستخدام التناظر لتحليل الأوضاع الرياضية • وصف أحجام ومواقف وتوجهات من الأشكال تحت تحويلات غير رسمية مثل تقلب ويتحول، والشرائح، والقياس؛
• فحص التطابق أو التشابه، وخط أو التناوب التماثل من الكائنات باستخدام تحويلات.

استخدام التصور، المكانية المنطق، والنمذجة الهندسية حل المشكلات • رسم الكائنات الهندسية مع الخصائص المحددة، مثل أطوال جانب أو زاوية التدابير؛
• استخدام تمثيلات ثنائية الأبعاد للكائنات ثلاثية الأبعاد لتصور وحل مشاكل مثل تلك التي تنطوي على المساحة السطحية والحجم؛
• استخدام الأدوات البصرية مثل شبكات لتمثيل وحل المشاكل؛
• استخدام النماذج الهندسية لتمثيل وتوضيح علاقات عددية والجبرية؛
• الاعتراف وتطبيق أفكار هندسية وعلاقات في مجالات خارج الفصول الدراسية الرياضيات، مثل الفن والعلم، والحياة اليومية.


ينبغي أن يأتي الطلاب لدراسة الهندسة في الدرجات الوسطى مع المعارف غير الرسمية حول النقاط، والخطوط، والطائرات، ومجموعة متنوعة من الأشكال ثنائية وثلاثية الأبعاد؛ مع تجربة في نحققها ورسم خطوط والزوايا والمثلثات والمضلعات الأخرى؛ ويعيش مع مفاهيم بديهية حول الأشكال التي بنيت من سنوات من التفاعل مع الكائنات في عملهم اليومي.
في الصف الأوسط هندسة البرامج استناداً إلى هذه التوصيات، طالبا التحقيق علاقات بالرسم، قياس، تصور، ومقارنة، تحويل، وتصنيف الكائنات الهندسية. الهندسة يوفر سياقا غنية لتطوير المنطق الرياضي، بما في ذلك استقرائي واستنتاجي المنطق، مما يجعل والتحقق من صحة التخمينات، وتصنيف وتعريف الكائنات الهندسية. تعامل العديد من المواضيع في "معيار القياس" للصف الأوسط ترتبط ارتباطاً وثيقا بدراسة طلاب الهندسة.

تحليل خصائص الأشكال الهندسية ثنائية وثلاثية الأبعاد والخصائص وتطوير حجج رياضية حول العلاقات الهندسية
طلاب الصف الأوسط ينبغي استكشاف مجموعة متنوعة من الأشكال الهندسية ودراسة خصائصها. الطلاب يمكن إجراء هذه الاستكشافات باستخدام مواد مثل جيوبواردس، ورقة دوت، وأشرطة متعددة-طول الورق المقوى مع المفصلات، وديناميكية هندسة البرمجيات إنشاء الأشكال ثنائية الأبعاد.
الطلاب يجب أن تدرس بعناية ملامح الأشكال من أجل دقة تحديد ووصف الأشكال الأساسية، مثل أنواع خاصة من رباعي دائري، وتحديد العلاقات بين أنواع الأشكال. قد يسأل معلم الطلاب رسم عدة متوازيات الأضلاع في شبكة تنسيق أو مع برمجيات الهندسة الديناميكية. وينبغي جعل الطلاب وتسجيل القياسات من الجانبين والزوايا لمراقبة بعض السمات المميزة لكل نوع من متوازي أضلاع. ثم أنها ينبغي أن تولد تعريفات لهذه الأشكال التي هي صحيحة ومتسقة مع تلك التي يشيع استخدامها والاعتراف بالعلاقات الأساسية بين عناصر من هذه متوازيات الأضلاع. رسم تخطيطي متداخل مثل واحد هو موضح في الشكل 6.14 يمكن أن تستخدم لتلخيص الملاحظات أن ساحة هو حالة خاصة دالتون والمستطيل، كل منها حالة خاصة من متوازي الأضلاع.

6.14 الشكل. رسم تخطيطي يبين العلاقة بين أنواع من متوازيات الأضلاع


المعلم أيضا ص 233 التي قد تسأل الطلاب رسم أقطار أمثلة متعددة من كل شكل، كما هو مبين في الشكل 6.15، ومن ثم قياس الأطوال في الأقطار والزوايا وهي تشكل. يمكن تلخيص النتائج في جدول مثل هذا الشكل 6.16. وينبغي مراقبة الطلاب أن أقطار هذه متوازيات الأضلاع تقسم بعضها البعض، والتي قد يقترحون السمة المميزة لمتوازي الأضلاع. وعلاوة على ذلك، قد لاحظوا، الأقطار متعامدة في رهومبوسيس (بما في ذلك الساحات) ولكن ليس في الأخرى متوازيات الأضلاع والأقطار هي متساوية الطول في المستطيلات (بما في ذلك الساحات) ولكن ليس في غيرها متوازيات الأضلاع. قد توحي هذه الملاحظات الأخرى الخصائص المميزة لرباعي دائري الخاصة، على سبيل المثال، الطول الذي هو مربع متوازي أضلاع مع أقطار متعامدة والمساواة». استخدام برمجيات الهندسة الديناميكية، يمكن الطلاب باستكشاف مدى ملاءمة هذا التعريف بمحاولة توليد مضاد.

6.15 الشكل. يمكن رسم الطلاب الأقطار من متوازيات الأضلاع إبداء المزيد من الملاحظات.



6.16 الشكل. جدول ملاحظات الطلبة حول خصائص الأقطار أنواع خاصة من رباعي دائري


الأوسط-درجات الطلاب أيضا بحاجة إلى خبرة في العمل مع الأشكال متطابقة ومتشابهة. من عملهم السابق، ينبغي أن يفهم الطلاب أن الأشكال المتطابقة وزوايا متطابقة، ويمكن أن تكون "مطابقة" بوضع واحدة فوق الأخرى. الطلاب يمكن أن تبدأ مع فكرة بديهية للتشابه: الأشكال المشابهة لها زوايا متطابقة لكن الجانبين ليست متطابقة بالضرورة. في الصفوف المتوسطة، أنها ينبغي أن تمتد فهمهم للتشابه أن تكون أكثر دقة، وإذ يلاحظ، على سبيل المثال، أن الأشكال المماثلة "تطابق بالضبط عند تكبيرها أو تقلصت" أو أن تتفق على زوايا المقابلة وعلى الجانبين المقابلة ترتبط بعامل مقياس.
الطلاب يمكن التحقيق التطابق والتشابه في كثير من البيئات، بما في ذلك الفن، والهندسة المعمارية، والحياة اليومية. على سبيل المثال، مراقبة أزواج متداخلة من مثلثات في تصميم طائرة ورقية في الشكل 6.17. يمكن إظهار مثلثات متداخلة، التي قد تم تفكيكها في الشكل، أن تكون مماثلة. الطلاب يمكن قياس الزوايا المثلثات في طائرة ورقية، ونرى أن تلك الزوايا المقابلة المنسجمة. يمكن قياس الأطوال الجانبين من المثلثات ونرى أن الاختلافات ليست ثابتة ولكن بدلاً من ذلك تتعلق بعامل مقياس ثابت. مع التوجيه للمعلمين، الطلاب وبالتالي يمكن أن يبدأ وضع تعريف رسمي أكثر من التشابه فيما يتعلق بالعلاقات بين الجانبين والزوايا.

6.17 الشكل. طائرة ورقية يشكلها تداخل مثلثات


ص 234

تربط بين طول ومحيط ومساحة وحدة التخزين
تحقيقات في خصائص، والعلاقات فيما بينها، أشكال مماثلة يستطيع الطلاب العديد من الفرص تطوير وتقييم التخمينات الحث وديدوكتيفيلي. على سبيل المثال، تحقيقا في محيطاتها، والمناطق، والاطوال الجانبية لمماثلة و» تطابق المثلثات في المثال طائرة ورقية يمكن أن تكشف عن العلاقات ويؤدي إلى تعميمات. المعلمين قد يشجع الطلاب على صياغة التخمينات حول نسب أطوال الجانب ومن محيط، ومن مجالات أربعة مثلثات مشابهة. أنهم قد التخمين أن نسبة محيط هو نفسه كعامل المقياس المتعلقة بأطوال الجانب وأن نسبة المناطق هو الساحة لأن عامل المقياس. ثم يمكن استخدام الطلاب ديناميكية هندسة البرمجيات لاختبار التخمينات بأمثلة أخرى. يمكن للطلبة صياغة استنتاجي الحجج حول هذه التخمينات. التواصل مثل هذا المنطق بدقة ووضوح ويعد الطلبة لخلق وفهم البراهين الرسمي أكثر في الصفوف اللاحقة.

تحديد المواقع ووصف العلاقات المكانية باستخدام تنسيق الهندسة وغيرها من النظم التمثيلية
هندسية وجبرية تمثيلات من المشاكل يمكن ربطها باستخدام تنسيق الهندسة. الطلاب يمكن الاستفادة من أمثلة تنسيق الطائرة من متوازيات الأضلاع نوقش سابقا، ودراسة خصائصها المميزة باستخدام الإحداثيات، ومن ثم تفسير الخصائص الخاصة بهم جبريا. وقد تتضمن مثل هذا تحقيق العثور على منحدرات الأسطر التي تحتوي على الأجزاء التي تؤلف الأشكال. من أمثلة كثيرة لهذه الأشكال، يمكن أن تجعل الطلاب الملاحظات الهامة حول المنحدرات من خطوط متوازية وخطين متعامدين. 6.18 الشكل يساعد على توضيح دالتون واحد معينة ما يمكن ملاحظته بشكل عام: منحدرات خطوط متوازية (في هذه الحالة، طرفي نقيض من دالتون) متساوون ومنحدرات خطين متعامدين (في هذه الحالة، أقطار دالتون) هي مقلوب الأرقام السالبة. منحدرات الأقطار

و


6.18 الشكل. دالتون رسمها على متن الطائرة تنسيق


تطبيق التحولات واستخدام التناظر لتحليل الأوضاع الرياضية
ويوفر هندسة التحول عدسة أخرى من خلالها التحقيق وتفسير الكائنات الهندسية. لمساعدتهم على تشكيل صور للأشكال من خلال تحولات مختلفة، يمكن للطلاب استخدام الأشياء المادية، الأرقام التي تتبع في المناديل الورقية، ومرايا أو غيرها من الأسطح العاكسة، الأرقام مرسومة على ورق الرسم البياني، وديناميكية هندسة البرمجيات. أنها ينبغي أن تستكشف خصائص تقلب، يتحول، والشرائح، وينبغي التحقيق في العلاقات بين التراكيب تحولات. هذه التجارب ينبغي أن تساعد الطلاب على تطوير فهم قوية من خط والتناوب التماثل، والقياس، وخصائص المضلعات.
ص 235

التطابق، والتشابه