Home | Purchase | Search

Home | Purchase | Search






















Algebra Standard for Grades 6–8
Expectations
Instructional programs from prekindergarten through grade 12 should enable all students to— In grades 6–8 all students should—
Understand patterns, relations, and functions • represent, analyze, and generalize a variety of patterns with tables, graphs, words, and, when possible, symbolic rules;
• relate and compare different forms of representation for a relationship;
• identify functions as linear or nonlinear and contrast their properties from tables, graphs, or equations.

Represent and analyze mathematical situations and structures using algebraic symbols • develop an initial conceptual understanding of different uses of variables;
• explore relationships between symbolic expressions and graphs of lines, paying particular attention to the meaning of intercept and slope;
• use symbolic algebra to represent situations and to solve problems, especially those that involve linear relationships;
• recognize and generate equivalent forms for simple algebraic expressions and solve linear equations

Use mathematical models to represent and understand quantitative relationships • model and solve contextualized problems using various representations, such as graphs, tables, and equations.

Analyze change in various contexts • use graphs to analyze the nature of changes in quantities in linear relationships.


Students in the middle grades should learn algebra both as a set of concepts and competencies tied to the representation of quantitative relationships and as a style of mathematical thinking for formalizing patterns, functions, and generalizations. In the middle grades, students should work more frequently with algebraic symbols than in lower grades. It is essential that they become comfortable in relating symbolic expressions containing variables to verbal, tabular, and graphical representations of numerical and quantitative relationships. Students should develop an initial understanding of several different meanings and uses of variables through representing quantities in a variety of problem situations. They should connect their experiences with linear functions to their developing understandings of proportionality, and they should learn to distinguish linear relationships from nonlinear ones. In the middle grades, students should also learn to recognize and generate equivalent expressions, solve linear equations, and use simple formulas. Whenever possible, the teaching and learning of algebra can and should be integrated with other topics in the curriculum.

Understand patterns, relations, and functions
The study of patterns and relationships in the middle grades should focus on patterns that relate to linear functions, which arise when there is a constant rate of change. Students should solve problems in which they use tables, graphs, words, and symbolic expressions to represent and examine functions and patterns of change. For example, consider the following problem:
Charles saw advertisements for two cellular telephone companies. Keep-in-Touch offers phone service for a basic fee of $20.00 a month plus $0.10 for each minute used. ChitChat has no monthly basic fee but charges $0.45 a minute. Both companies use technology that allows them to charge for the exact amount of time used; they do not "round up" the time to the nearest minute, as many of their competitors do. Compare these two companies' charges for the time used each month.
Students might begin by making a table, picking convenient numbers of minutes, and finding the corresponding costs for the two companies, as shown in figure 6.8a. Using a graphing calculator, students might then plot the points as ordered pairs (minutes, cost) on the coordinate plane, obtaining a graph for each of the two companies (see fig. 6.8b). Some students might describe the pattern in each graph verbally: "Keep-in-Touch costs $20.00 and then $0.10 more per minute." Others might write an equation to represent the cost (y) in dollars in terms of the number of minutes (x), such as y = 20.00 + 0.10x.



Fig. 6.8. Students can compare the charges for two telephone companies by making a table (a) and by representing the charges on a graphing calculator (b).



p. 223 Before the students solve the problem, a teacher might ask them to use their table and graph to focus on important basic issues regarding » the relationships they represent. By asking, "How much would each company charge for 25 minutes? For 100 minutes?" the teacher could find out if students can interpret and extend the patterns. Since the table identifies only a small number of distinct points, a teacher could ask why it is legitimate to connect the points on the graph to make a line. Students might also be asked why one graph (for ChitChat) includes the origin but the other (for Keep-in-Touch) does not (see fig. 6.8b). Most students will recognize that the ChitChat graph includes the origin because there is no charge if no calls are made but the Keep-in-Touch graph includes (0, 20) because the company charges $20.00 even if the telephone is not used.
Many students will naturally seek a formula to express these patterns, but questions such as the following would be a good catalyst for others: How can you find the cost for any number of minutes for the Keep-in-Touch plan? For the ChitChat plan? What aspects of the stated price schedule are indicated in the graph? How? Students are likely to observe the constant difference between both the successive entries in the table and the coordinates of the points for each company along a straight line. They may explain the pattern underlying the function by saying, "Whenever you talk for one more minute, you pay $0.10 more (or $0.45 more), so the points go up the same amount each time." Others might say that a straight line is reasonable because each company charges a constant amount for each minute. Teachers should encourage students to explain their observations in their own words. Their explanations will provide the teacher with important insights into the students' thinking, particularly how well they recognize and represent linear relationships.
A solution to the stated problem requires comparing data from the two companies. A teacher might want to ask additional questions about this comparison: Which company is cheaper if you use the telephone infrequently? If you use it frequently? If you cannot spend more than $50.00 in a month but you want to talk for as many minutes as possible, which company would be the better choice? Considering questions such as these can lay the groundwork for a pivotal question: Is there a number of minutes that costs the same for both companies? Such questions could give rise to many observations. For example, most students will notice in their table that something important happens between 50 and 60 minutes, namely, using ChitChat becomes more expensive than using Keep-in-Touch. From the graph, some students may observe that this shift occurs at about 57 minutes: Keep-in-Touch is the cheaper company when a customer uses more than 57 minutes in a month. Experiences such as this can lay a foundation for solving systems of simultaneous equations.
p. 224 The problem could also easily be extended or adapted in ways that would draw students' attention to important characteristics of the line graph for each company's charges. For example, to draw attention to the y-intercept, students could be asked to use a graphing calculator to examine how the graph would be affected if Keep-in-Touch increased or decreased its basic fee or if ChitChat decided to begin charging a basic fee. Students' attention could be drawn to the slope by asking them to consider the steepness of the lines using a question such as, What happens to the graph for Keep-in-Touch if the company increases its cost per minute from $0.10 to $0.15? Through experiences such as these, students should develop a general understanding of, and » facility with, slope and y-intercept and their manifestations in tables, graphs, and equations.
The problem could also easily be extended to nonlinear relationships if, for instance, the companies did not charge proportionally for portions of minutes used. If they rounded to the nearest minute, then the cost for each company would be graphed as a step function rather than a linear function. In another variation, a nonlinear pricing scheme for a third company could be introduced.
Another important topic for class discussion is comparing and contrasting the merits of graphical, tabular, and symbolic representations in this example. A teacher might ask, "Which helps us see better the point at which the two companies switch position and Keep-in-Touch becomes the more economical—a table or a graph?" "Is it easier to see the rate per minute from the graph or from the equation?" or "How can you determine the rate per minute from the table?" Through discussion, students can identify the strengths and the limitations of different forms of representation. Graphs give a picture of a relationship and allow the quick recognition of linearity when change is constant. Algebraic equations typically offer compact, easily interpreted descriptions of relationships between variables.

Represent and analyze mathematical situations and structures using algebraic symbols
Working with variables and equations is an important part of the middle-grades curriculum. Students' understanding of variable should go far beyond simply recognizing that letters can be used to stand for unknown numbers in equations (Schoenfeld and Arcavi 1988). The following equations illustrate several uses of variable encountered in the middle grades:
27 = 4x + 3
1 = t(1/t)
A = LW
y = 3x
The role of variable as "place holder" is illustrated in the first equation: x is simply taking the place of a specific number that ca

النتائج (العربية) 1:

منزل | شراء | البحث






















القياسية الجبر للصفوف 6-8 وينبغي

التوقعات البرامج التعليمية من مرحلة ما قبل الروضة حتى الصف 12 تمكين جميع الطلبة لفي الصفوف 6-8 جميع الطلاب ينبغي
فهم أنماط العلاقات، وظائف • تمثيل وتحليل وتعميم مجموعة متنوعة من أنماط مع الجداول والرسوم البيانية،الكلمات، وعندما يكون ذلك ممكنا، قواعد رمزية؛
• تتصل وقارن بين أشكال مختلفة من التمثيل للعلاقة؛
• تحديد وظائف وخطية أو غير خطية وعلى النقيض من ممتلكاتهم من الجداول والرسوم البيانية، أو المعادلات.

تمثيل وتحليل المواقف والهياكل الرياضية باستخدام الرموز الجبرية • تطوير فهم المفاهيم الأولية لاستخدامات مختلفة من المتغيرات؛
• استكشاف العلاقات بين التعبيرات والرسوم البيانية رمزية من الخطوط، مع إيلاء اهتمام خاص لمعنى اعتراض والمنحدر؛
• استخدام الجبر الرمزي لتمثيل الحالات وحل المشاكل، وخصوصا تلك التي تنطوي على علاقات خطية؛
• الاعتراف وتوليد أشكال يعادل للعبارات جبرية بسيطة ويحل معادلات خطية

استخدام النماذج الرياضية لتمثيل وفهم العلاقات الكمية • نموذج وحل المشاكل سياقها باستخدام مختلف التمثيلات، مثل الرسوم البيانية والجداول والمعادلات.

تحليل التغير في سياقات مختلفة • استخدام الرسوم البيانية لتحليل طبيعة التغيرات في كميات في العلاقات الخطية.


ويجب على الطلبة في الصفوف المتوسطة تعلم الجبر على حد سواء باعتبارها مجموعة من المفاهيم والكفاءات مرتبطة تمثيل العلاقات الكمية وكنمط من التفكير الرياضي لإضفاء الطابع الرسمي على أنماط، وظائف، والتعميمات. في الصفوف المتوسطة، يجب على الطلاب العمل على نحو أكثر تواترا مع رموز جبرية مما كانت عليه في الصفوف الدنيا.فمن الضروري أن تصبح مريحة في تعبيرات رمزية المتعلقة تحتوي على متغيرات لاللفظية، وجداول، ورسوم بيانية لعلاقات العددي والكمي. يجب على الطلاب تطوير فهم أولي من العديد من المعاني والاستخدامات المختلفة للمتغيرات من خلال تمثيل كميات في مجموعة متنوعة من الحالات المشكلة.ينبغي ربط خبراتهم مع الوظائف الخطية إلى تفاهمات النامية على التناسب، ويجب أن نتعلم كيف نميز العلاقات الخطية من تلك غير الخطية. في الصفوف المتوسطة، يجب على الطلاب أيضا تعلم كيفية التعرف وتوليد تعبيرات مماثلة، حل المعادلات الخطية، واستخدام صيغ بسيطة. كلما كان ذلك ممكنا،تعليم وتعلم الجبر يمكن وينبغي أن تكون متكاملة مع غيرها من الموضوعات في المناهج الدراسية.

فهم أنماط العلاقات، وظائف
ينبغي أن تركز دراسة الأنماط والعلاقات في الصفوف المتوسطة على الأنماط التي تتعلق ظائف الخطية، التي تنشأ عندما يكون هناك معدل ثابت من التغيير. ويجب على الطلبة في حل المشاكل التي يستخدمونها الجداول والرسوم البيانية، والكلمات،وتعبيرات رمزية لتمثيل ودراسة وظائف وأنماط التغير. على سبيل المثال، والنظر في المشكلة التالية: رأى تشارلز
الإعلانات لشركتين الهاتف الخلوي. المحافظة على في اتصال يقدم خدمة الهاتف لالرسم الأساسي 20.00 دولار في الشهر بالإضافة إلى 0،10 $ لكل دقيقة المستخدمة. لغو لا يوجد لديه رسوم شهرية الأساسية ولكن رسوم 0،45 $ لمدة دقيقة.كلا الشركتين استخدام التكنولوجيا التي تسمح لهم بتقاضي عن المبلغ المحدد من الوقت المستخدم، وهي لا "محاصرة" الوقت الى أقرب دقيقة، حيث أن العديد من منافسيها القيام به. قارن بين التهم هاتين الشركتين للمرة تستخدم كل شهر.
الطلاب قد تبدأ بجعل جدول، واختيار الأرقام مريحة دقائق، والعثور على التكاليف المقابلة للشركتين،كما هو مبين في الشكل 6.8A. باستخدام الرسوم البيانية حاسبة، قد طالب ثم رسم نقطة للأزواج أمر (دقيقة، والتكلفة) على تنسيق الطائرة، والحصول على رسم بياني لكل من الشركتين (انظر الشكل 6.8b). بعض الطلاب قد وصف النمط في كل رسم بياني لفظيا: "المحافظة على اتصال في تكاليف 20،00 $ 0،10 $ ثم أكثر في الدقيقة الواحدة."آخرين قد كتابة المعادلة لتمثيل التكلفة (ذ) بالدولار من حيث عدد الدقائق (خ)، مثل ص = 20.00 0.10x



الشكل يمكن 6.8. الطلاب مقارنة الرسوم لمدة الهاتف الشركات بجعل جدول (أ) والتي تمثل رسوم على الرسوم البيانية حاسبة (ب).



ع. 223 قبل حل مشكلة الطلاب،المعلم قد نطلب منهم لاستخدام الجدول والرسم البياني للتركيز على القضايا الأساسية الهامة المتعلقة »العلاقات التي يمثلونها. بالقول: "كم سيكون كل تهمة الشركة لمدة 25 دقيقة؟ لمدة 100 دقيقة؟" المعلم يمكن معرفة ما إذا كان يمكن للطلاب تفسير وتمديد الأنماط. منذ يحدد الجدول سوى عدد قليل من نقاط متميزة،المعلم يمكن أن نسأل لماذا هو المشروعة لربط النقاط على الرسم البياني لجعل خط. ويمكن أيضا أن يطلب من الطلاب رسم بياني واحد لماذا (للغو) ويشمل الأصل ولكن الطرف الآخر (لتبقي في واللمس) لا (انظر الشكل 6.8b). فإن معظم الطلاب ندرك أن الرسم البياني لغو يشمل الأصل لأنه لا توجد تهمة إذا تم إجراء أي مكالمات ولكن يتضمن الرسم البياني الاحتفاظ في لمسة و(0،20) لأن الشركة التهم 20،00 $ حتى لو لم يتم استخدام الهاتف. و
العديد من الطلاب يسعى بطبيعة الحال صيغة للتعبير عن هذه الأنماط، ولكن أسئلة مثل ما يلي تكون حافزا جيدا للآخرين: كيف يمكنك العثور على تكلفة لأي عدد من الدقائق لخطة إبقاء في لمسة و؟ لخطة لغو؟ ما جوانب جدول السعر يفيد مبينة في الرسم البياني؟ كيف؟من المحتمل أن نلاحظ الفرق المستمر بين كل من إدخالات المتتالية في الجدول وإحداثيات النقاط لكل شركة على طول خط مستقيم الطلاب. أنها قد يفسر نمط الكامنة وراء وظيفة قائلا: "كلما تتحدث عن مزيد من دقيقة واحدة، انت لا تدفع 0،10 $ أكثر (أي 0.45 دولار أكثر)، وبالتالي فإن نقاط ترتفع بنفس المقدار في كل مرة."قد يقول البعض الآخر أن الخط المستقيم هو معقول لأن كل شركة يتقاضى مبلغ ثابت عن كل دقيقة. يجب المعلمين تشجيع الطلاب على شرح ملاحظاتهم في الكلمات الخاصة بهم. سوف تفسيراتهم توفير المعلم مع نظرة ثاقبة التفكير لدى الطلاب، وخاصة كيف جيدا أنها تعترف وتمثل العلاقات الخطية.
حل لمشكلة صرح يتطلب مقارنة البيانات من الشركتين. المعلم قد ترغب في طرح الأسئلة حول هذه المقارنة: الشركة التي هي أرخص إذا كنت تستخدم الهاتف بشكل غير منتظم؟ إذا كنت تستخدم بشكل متكرر؟ إذا كنت لا يمكن أن تنفق أكثر من 50،00 $ في الشهر ولكن كنت أريد أن أتحدث عن العديد من دقائق وقت ممكن، الشركة التي سيكون الخيار الأفضل؟يمكن النظر في مسائل مثل هذه ترسي الأساس لسؤال محوري: هناك عدد الدقائق التي يكلف نفسه بالنسبة لكلا الشركتين؟ مثل هذه الأسئلة يمكن أن يؤدي إلى العديد من الملاحظات. على سبيل المثال، فإن معظم الطلاب إشعار الجدول بهم أن شيئا هاما يحدث ما بين 50 و 60 دقيقة، وهي، وذلك باستخدام لغو يصبح أكثر تكلفة من استخدام تبقي في واللمس.من الرسم البياني، قد يكون بعض الطلاب نلاحظ أن هذا التحول يحدث في حوالي 57 دقيقة: المحافظة على في اتصال هي الشركة أرخص عندما يستخدم العميل في الشهر أكثر من 57 دقيقة. إن الخبرات والتجارب مثل هذا وضع أساس لحل نظم المعادلات في وقت واحد.
ع.ويمكن أيضا أن تمتد بسهولة 224 مشكلة أو تكييفها بطرق من شأنها أن تلفت الانتباه الطلاب على الخصائص المهمة للخط الرسم البياني للرسوم لكل شركة. على سبيل المثال، للفت الانتباه إلى التقاطع y،ويمكن أن يطلب الطلاب على استخدام الرسوم البيانية حاسبة لدراسة كيف ستتأثر الرسم البياني إذا زادت الاحتفاظ في واللمس أو انخفضت رسوم الأساسية أو إذا قررت لغو لبدء فرض رسوم الأساسية. يمكن لفت الانتباه الطلاب إلى المنحدر بأن تطلب منهم النظر في شدة الانحدار في خطوط باستخدام سؤال مثل،ما يحدث إلى الرسم البياني لتبقي في واللمس إذا كانت الشركة تزيد تكلفتها في الدقيقة الواحدة من $ 0.10 إلى $ 0،15؟ من خلال تجارب مثل هذه، يجب على الطلاب تطوير فهم عام، و»مرفق مع، المنحدر والتقاطع y ومظاهرها في الجداول والرسوم البيانية، والمعادلات.
ويمكن أيضا أن تمتد بسهولة إلى مشكلة علاقات غير الخطية إذا، على سبيل المثال،لم الشركات لا تتقاضى نسبيا لأجزاء من الدقائق المستخدمة. إذا كانت مقربة إلى أقرب دقيقة، ثم تكلفة لكل شركة سيتم رسوم بيانية بوصفها وظيفة الخطوة بدلا من دالة خطية. في اختلاف آخر، ويمكن إدخال نظام التسعير غير الخطية لشركة ثالثة.
موضوع آخر مهم للمناقشة فئة ومقارنة وتباين مزايا رسومية، جداول، وتمثيلات رمزية في هذا المثال. قد يسأل المعلم "، الذي يساعدنا على رؤية أفضل النقطة التي الشركتين تبديل موقف والمحافظة على في اتصال يصبح أكثر اقتصادا-جدول أو رسم بياني؟"" هو من السهل أن نرى سعر للدقيقة الواحدة من الرسم البياني أو من المعادلة؟ "أو" كيف يمكنك تحديد سعر للدقيقة الواحدة من الجدول؟ "من خلال المناقشة، ويمكن للطلاب تحديد نقاط القوة وأوجه القصور في أشكال مختلفة من التمثيل. الرسوم البيانية تعطي صورة عن علاقة والسماح للاعتراف سريع من الخطي عند التغيير المستمر.عادة ما تقدم المعادلات الجبرية المدمجة، ووصف تفسيره بسهولة من العلاقات بين المتغيرات.

تمثيل وتحليل المواقف والهياكل الرياضية باستخدام الرموز الجبرية
العمل مع المتغيرات والمعادلات هو جزء مهم من المنهج الدراسي، الصفوف المتوسطة.فهم الطلاب للمتغير يجب أن تذهب إلى ما هو أبعد ببساطة الاعتراف بأن الرسائل يمكن استخدامها للوقوف لأعداد غير معروفة في المعادلات (شونفيلد وarcavi 1988). توضيح المعادلات التالية عدة استخدامات من متغير واجهتها في الصفوف المتوسطة:
27 = 4X 3
1 = ر (1 / ر)
أ = LW

ص = 3X ويتضح دور المتغير كما "صاحب المكان" في أول المعادلة:س هو مجرد اخذ مكان عدد معين أن كاليفورنيا

النتائج (العربية) 2:

الصفحة الرئيسية | شراء | البحث






















"الجبر القياسية" للصفوف من 6-8
توقعات
البرامج التعليمية من بريكينديرجارتين من خلال الصف 12 ينبغي تمكين جميع الطلاب – ينبغي أن جميع الطلاب في الصفوف من 6 إلى 8-
فهم الأنماط والعلاقات، و • مهام تمثيل وتحليل وتعميم مجموعة متنوعة من أنماط مع الجداول والرسوم البيانية، الكلمات، والقيام، عند الإمكان، القواعد الرمزية؛
• تتصل ومقارنة مختلف أشكال التمثيل لعلاقة؛
• تحديد مهام الخطية أو غير الخطية، وعلى النقيض من ممتلكاتهم من الجداول والرسوم البيانية والمعادلات.

تمثيل وتحليل الأوضاع الرياضية والهياكل باستخدام رموز جبرية • بلورة فهم المفاهيم أولية لاستخدامات مختلفة للمتغيرات؛
• استكشاف العلاقات بين تعبيرات رمزية والرسوم البيانية من الأسطر، مع إيلاء اهتمام خاص لمعنى اعتراض والمنحدر؛
• استخدام الجبر الرمزي لتمثيل الحالات وحل المشاكل، ولا سيما تلك التي تنطوي على علاقات خطية؛
• الاعتراف وتولد أشكالاً مماثلة لعبارات جبرية بسيطة وحل المعادلات الخطية

استخدام النماذج الرياضية لتمثيل وفهم العلاقات الكمية • نموذج وحل المشاكل الظرفية باستخدام تمثيلات مختلفة، مثل الرسوم البيانية والجداول والمعادلات.

تحليل التغير في • سياقات مختلفة استخدام الرسوم البيانية لتحليل طبيعة التغيرات في كميات في علاقات خطية.


ينبغي أن يتعلم الطلاب في الصفوف المتوسطة الجبر كمجموعة من المفاهيم والكفاءات مرتبطة لتمثيل العلاقات الكمية وكذلك كنمط من التفكير الرياضي لإضفاء الطابع الرسمي على أنماط ووظائف، والتعميمات. الطلاب في الصفوف المتوسطة، ينبغي العمل أكثر في كثير من الأحيان مع رموز جبرية من الصفوف الدنيا. من الضروري أن تصبح مريحة فيما يتعلق بالتعبيرات الرمزية التي تحتوي على متغيرات للتمثيلات اللفظية وجدولي، ورسوم بيانية للعلاقات الكمية والعددية. وينبغي وضع الطلاب تفاهم أولية لعدة معان مختلفة، ويستخدم للمتغيرات من خلال تمثيل كميات في مجموعة متنوعة من الحالات المشكلة. ينبغي أن اتصالهم تجاربهم مع وظائف الخطي لتلك التفاهمات النامي من التناسب، وأنهم ينبغي أن تعلم التمييز بين علاقات خطية من تلك غير الخطية. في الصفوف المتوسطة، ينبغي أن يتعلم الطلاب أيضا الاعتراف وإنشاء تعبيرات مماثلة، حل المعادلات الخطية، واستخدام الصيغ البسيطة. كلما كان ذلك ممكناً، التدريس والتعلم من الجبر يمكن ويجب أن تتكامل مع غيرها من المواضيع في المنهج الدراسي.

فهم أنماط وعلاقات ووظائف
دراسة أنماط وعلاقات في الدرجات الوسطى ينبغي أن تركز على الأنماط التي تتصل بوظائف الخطي، التي تنشأ عندما يكون هناك معدل ثابت للتغيير. الطلاب ينبغي أن تحل المشاكل التي يستخدمونها الجداول، والرسوم البيانية، والكلمات، وتعبيرات رمزية تمثل ودراسة الوظائف وأنماط التغيير. على سبيل المثال، النظر في المشكلة التالية:
تشارلز رأيت إعلانات لشركات الهاتف الخلوي اثنين. الحفاظ على اتصال يقدم خدمة الهاتف لرسم أساسية من 20.00 دولار شهريا بالإضافة إلى 0.10 دولار لكل دقيقة المستخدمة. وقد قيل وقال لا رسم الأساسية الشهرية ولكن رسوم 0.45 دولار للدقيقة الواحدة. الشركات على حد سواء استخدام التكنولوجيا التي تسمح لهم بفرض رسوم على المبلغ المحدد من الوقت المستخدمة؛ أنهم لا "التقريب" الوقت لدقيقة أقرب، كالعديد من أصدقائهم هل المنافسين. مقارنة رسوم هاتين الشركتين لوقت استخدام كل شهر.
الطلاب قد تبدأ بجعل جدول والتقاط أرقام مريحة لدقائق، وإيجاد التكاليف المقابلة للشركتين، وكما هو مبين في الشكل 6.8a. استخدام آلة حاسبة الرسوم البيانية، ربما مؤامرة الطلاب ثم النقاط كأزواج مرتبة (دقيقة، التكلفة) في تنسيق الطائرة، الحصول على رسم بياني لكل من الشركتين (انظر الشكل 6.8b). بعض الطلاب قد وصف النمط في كل رسم بياني لفظياً: "تبقى على اتصال تكاليف $20.00 وثم 0.10 دولار أكثر في الدقيقة الواحدة."الآخرين يمكن كتابة معادلة تمثل التكلفة (y) بالدولار من حيث عدد الدقائق (x)، مثل y = 20.00 0.10 x.



6.8 الشكل. يمكن مقارنة الطلاب التهم الموجهة لاثنين من شركات الهاتف بجدول (أ) وتمثل هذه الاتهامات على الرسوم البيانية حاسبة (ب)-


ص 223 قبل الطلاب حل المشكلة، معلم قد نطلب منهم استخدام الجدول والرسم البياني للتركيز على القضايا الأساسية الهامة بشأن» العلاقات التي يمثلونها. عن طريق طرح، "كم أن كل شركة شحن لمدة 25 دقيقة؟ لمدة 100 دقيقة؟ "يمكن معرفة المعلم إذا كان الطلاب يمكن تفسير وتوسيع الأنماط. حيث يحدد الجدول سوى عدد قليل من نقاط متميزة، معلم يمكن أن نسأل لماذا مشروعة لتوصيل النقاط على الرسم البياني لجعل خط. الطلاب قد يطلب أيضا لماذا واحد يتضمن الرسم البياني (قيل وقال) في الأصل ولكن الآخر (للحفاظ على اتصال) لا (انظر الشكل 6.8b). وسوف تعترف معظم الطلاب أن يتضمن الرسم البياني قيل وقال في الأصل لأنه ليس هناك أي رسوم إذا تم إجراء لا مكالمات ولكن يتضمن الرسم البياني نضع في اللمس (0، 20) نظراً لأن الشركة رسوماً 20.00 دولار حتى إذا لم يتم استخدام الهاتف.
العديد من الطلاب وسوف تسعى بطبيعة الحال صيغة التعبير عن هذه الأنماط، ولكن الأسئلة مثل التالية ستكون حافزا جيدا للآخرين: كيف يمكنك أن تجد التكلفة لأي عدد من الدقائق لخطة الحفاظ على اتصال؟ للخطة قيل وقال؟ ما هي جوانب جدول الأسعار المعلنة هي المشار إليها في الرسم البياني؟ كيف؟ ويرجح الطلاب مراعاة الاختلاف المستمر بين كلا الإدخالات المتتابعة في الجدول واحداثيات النقاط لكل شركة على امتداد خط مستقيم. قد شرح نمط الكامنة وراء الدالة بالقول، "كلما يمكنك التحدث لمدة دقيقة واحدة أكثر، يمكنك دفع 0.10 دولار أكثر (أو 0.45 دولار أكثر)، حيث أن النقاط التي ترتفع نفس المقدار في كل مرة."وقد يقول آخرون أن خط مستقيم معقول نظراً لأن كل شركة رسوماً بمبلغ ثابت لكل دقيقة. ينبغي تشجيع المعلمين الطلاب شرح ملاحظاتهم في كلماتهم الخاصة. وستوفر تفسيراتهم المعلم بمعلومات هامة عن الطلاب التفكير، لا سيما جيدا كيف أنها تعترف وتمثل العلاقات الخطية.
ويتطلب التوصل إلى حل للمشكلة المذكورة مقارنة البيانات من الشركتين. معلم قد ترغب في طرح أسئلة إضافية حول هذه المقارنة: الشركة التي هي أرخص إذا كنت تستخدم الهاتف إلا نادراً؟ إذا كنت تستخدم فإنه كثيرا ما؟ إذا كنت لا تنفق أكثر من 50.00 دولار في شهر ولكن تريد التحدث لمدة دقيقة أكبر عدد ممكن، أن الشركة التي سيكون الخيار الأفضل؟ النظر في مسائل كهذه يمكن أن تضع الأساس لسؤال محوري: هل هناك عدد الدقائق التي يكلف نفسه لكلا الشركتين؟ مثل هذه الأسئلة يمكن أن تؤدي إلى العديد من الملاحظات. على سبيل المثال، سوف تلاحظ معظم الطلاب في الجدول أن شيئا هاما يحدث بين 50 و 60 دقيقة، إلا وهي استخدام قيل وقال يصبح أكثر تكلفة من استخدام الحفاظ على اتصال. من الرسم البياني، قد يلاحظ بعض الطلاب أن هذا التحول يحدث في حوالي 57 دقيقة: هو الحفاظ على اتصال الشركة أرخص عند عميل يستخدم أكثر من 57 دقيقة في شهر. تجارب كهذه يمكن أن يرسي أساسا لحل أنظمة المعادلات المتزامنة.
p. 224 يمكن أيضا بسهولة تمديد المشكلة أو تكييفها في السبل التي من شأنها رسم الطلاب الانتباه إلى الخصائص الهامة لخط الرسم البياني للمصاريف الشركة كل. على سبيل المثال، لتوجيه الانتباه إلى التقاطع y، يمكن أن يطلب من الطلاب استخدام آلة حاسبة الرسوم البيانية لدراسة كيف ستتأثر الرسم البياني إذا كان الحفاظ على اتصال تزيد أو تنقص عن الرسوم الأساسية أو إذا قيل وقال وقررت البدء في فرض رسوم أساسية. يمكن استخلاص انتباه الطلاب إلى المنحدر بمطالبتهم بالنظر في الانحدار خطوط باستخدام سؤال مثل، ماذا يحدث للرسم البياني لتبقى على اتصال إذا كان يزيد عن التكلفة للدقيقة الواحدة من $0.10 0.15 دولار من الشركة؟ من خلال تجارب كهذه، ينبغي أن الطلاب على تطوير فهم عام ل، و» مرفق مع، الميل والتقاطع y ومظاهرها في الجداول والرسوم البيانية والمعادلات.
المشكلة يمكن بسهولة أيضا أن تمتد إلى العلاقات غير الخطية إذا، على سبيل المثال، لا تهمة الشركات تناسبياً لأجزاء من الدقائق المستخدمة. إذا أنهم تقريبه إلى أقرب دقيقة، ثم سوف تكون رسوم بيانية التكلفة لكل شركة كدالة خطوة بدلاً من دالة خطية. في اختلاف آخر، يمكن الأخذ بنظام تسعير غير خطية لشركة ثالثة.
هو موضوع هام آخر لمناقشة فئة مقارنة والمتناقضة مزايا رسومية، وجداول، وتمثيلات رمزية في هذا المثال. قد يسأل معلم، "الذي يساعد لنا رؤية أفضل من النقطة التي التبديل الشركتين موقف ويصبح الحفاظ على اتصال أوفر — جدول أو رسم بياني؟"" أسهل لمعرفة المعدل في الدقيقة الواحدة من الرسم البياني أو من المعادلة؟ "أو" كيف يمكنك تحديد سعر للدقيقة الواحدة من الجدول؟ " من خلال المناقشة، يمكن تحديد الطلاب مواطن القوة وأوجه القصور في أشكال مختلفة من التمثيل. الرسوم البيانية تعطي صورة عن علاقة وتسمح الاعتراف السريع الخطي عندما يتم التغيير المستمر. المعادلات الجبرية عادة توفر الأوصاف المدمجة، وتفسيرها بسهولة من علاقات بين متغيرات.

تمثيل وتحليل الأوضاع الرياضية والهياكل باستخدام رموز جبرية
العامل مع المتغيرات والمعادلات جزء مهم من المنهج الدراسي الصف الأوسط. فهم الطلاب للمتغير يجب أن تتجاوز بكثير مجرد الاعتراف بأن الرسائل يمكن استخدامها للوقوف على أرقام غير معروفة في المعادلات (سكونغيلد وأركافي 1988). المعادلات التالية توضح استخدامات عدة لمتغير مصادفة في الدرجات المتوسطة:
27 = 4 × 3
1 = t (1/t)
A = وزن المادة الدهنية
y = 3 x
ويتضح دور متغير "مكان حامل" في المعادلة الأولى: x هو ببساطة أخذ مكان عدد معين أن كاليفورنيا