טסה נולד וגדל בשכונת התקווה בתל אביב. כבר בתור ילד היה פעיל במתנ"ס הקהילתי. בגיל 13 הוציא את אלבומו הראשון, "אוהב את השירים", בהפקת ישי בן צור. לאחר שרותו הצבאי בצה"ל, בשנת 2000 הוציא את אלבומו השני, "יותר ברור", אשר זכה לביקורות טובות אף על פי שמכר עותקים בודדים.
בשנת 2002 הצטרף כגיטריסט ללהקת הבית של תוכנית האירוח "יצפאן" - "החברים של ביזונה". באפריל 2003 הוציא את אלבומו השלישי, "מתוך בחירה". בעקבות פרסומו של טסה ב"יצפאן" זכה האלבום לחשיפה גדולה יותר מקודמיו, ושיריו זכו להשמעות רבות ברדיו. הסינגל הראשון מהאלבום היה "ולך מה זה עושה", שאותו הקליט טסה במקור עבור סרט הטלוויזיה "בוצ'צ'י". הסינגל השני היה גרסת כיסוי לשיר "היה לי חבר, היה לי אח" של יורם טהרלב ויאיר רוזנבלום, שאותו הקליט טסה במסגרת השירותרום של גלי צה"ל. אחריו יצאו הסינגלים "באת עם השקט" ו"אני רץ", שזכו גם הם להצלחה. את רוב שירי האלבום כתב והלחין טסה, שגם עיבד את רובם יחד עם שמוליק דניאל. באלבום נכללה גרסתו של טסה לשיר "פוג אל נחל", שיר עם עיראקי מפורסם, שבוצע בין היתר גם על ידי סבו דאוד אל כוויתי. טסה הקליט את השיר עבור סרט הקולנוע "סוף העולם שמאלה", שעלה לאקרנים כשנה לאחר יציאת האלבום.
בשנת 2004 יצא אלבומו הרביעי של טסה, "בדיוק בזמן". הלהיט הגדול ביותר מהאלבום היה גרסת כיסוי לשירה של ריטה "אתה בכל זאת" ("עלית לי בזיכרון"), שבגרסתו של טסה נקרא "הלילה לא", תוך שינוי ניכר של הלחן והעיבוד. סינגלים נוספים מהאלבום היו "זוזי" ו"בדיוק בזמן". טסה כתב והלחין את רוב השירים באלבום, חלקם יחד עם כותבים אחרים. באלבום נכללו גם השירים "ימים צבעוניים", שמילותיו לקוחות מספרו של דוקטור סוס בתרגומו של בני הנדל, וכן גרסת כיסוי לשירו של בני אמדורסקי "אני גיטרה", שכתבה נעמי שמר והקליט טסה בתוכנית הטלוויזיה "יצפאן" במלאת עשור למותו של אמדורסקי. גם באלבום זה נכללה גרסתו של טסה לשיר "פוג אל נחל", מתוך הסרט "סוף העולם שמאלה".
בשנת 2005 הפיק טסה את אלבום הבכורה של שלישיית מה קשור, "תתנו לו צ'אנס", שבו גם ניגן בגיטרה. טסה עיבד את רוב שירי האלבום יחד עם עדי גולדשטיין ושמוליק דניאל.
בשנת 2006 הוציא טסה את אלבומו החמישי, "לולה", שמתוכו הצליחו שיר הנושא והדואט "מעליות" עם רוני אלטר (בתוכנית רדיו בה התארח חשף טסה כי התפקיד הנשי בדואט היה מיועד במקור לקרן פלס, למרות שלא צלח הדבר, ביצעו אותו השניים במשותף באותה תוכנית). סינגלים נוספים מן האלבום היו "כי ככה זה" ו"דבר פתוח".
בשנת 2008 הפיק מוזיקלית דודו טסה את הלהקה הצעירה "פאנק יו" במסגרת פרויקט משותף של סלקום ו"כוכב נולד", בעבודה שבהמשך הביאה את הסינגל "בן 16". בשנת 2009 נבחר השיר שכתב טסה יחד עם טלי כץ, "רציתי לשיר", להיות שיר האודישנים של העונה השביעית של "כוכב נולד". את השיר הקליטו שלושת מתמודדי הגמר של העונה השישית, ישראל בר און, לי בירן וכרמל אקמן.
במרץ 2009 הוציא טסה את אלבומו השישי, "בסוף מתרגלים להכל". הסינגל שקדם לאלבום היה "איזה יום", שבו התארח הגיטריסט ג'וני גרינווד, חבר להקת רדיוהד. השיר זכה להשמעות רבות בתחנות הרדיו. הסינגל השני היה שיר הנושא של האלבום. באלבום נכללה גם גרסתו של טסה לשירה של אהובה עוזרי "אמי אמי", שהקליט עבור הפרויקט המוזיקלי "עבודה עברית". באותה שנה השתתף טסה בסרטו של שמוליק מעוז "לבנון", שבו גילם שבוי סורי.
בפברואר 2010 הוציא טסה את אלבום ההופעה "אחרי לילה של רעש", שתיעד את הופעתו במועדון "זאפה" בדצמבר 2009.
בפברואר 2011 יצא אלבומו של טסה "דודו טסה והכוויתים", המורכב כולו מחומרים של סבו ואחיו, דאוד וסאלח אל כוויתי. על האלבום החל טסה לעבוד כעשור לפני יציאתו, כשהתבקש לבצע את השיר "פוג אל נאחל" לפסקול הסרט "סוף העולם שמאלה". לאחר מכל החל טסה באיסוף חומרים ועיבודם לאלבום מוזיקלי המשלב את המוזיקה העיראקית של סבו ואחיו ומוזיקה מודרנית. באלבום נכללות הקלטות ישנות של האחים אל כוויתי ותזמורתם. כמו כן השתתפו באלבום ברי סחרוף, יהודית רביץ וכרמלה טסה, אמו של דודו ובתו של דאוד אל כוויתי, ששרו גם הם בערבית.
לאלבומה של מירי מסיקה "מלך" משנת 2012 הלחין טסה את השיר "ואולי", שכתב גיא בוקאטי. השיר יצא כסינגל וזכה להצלחה רבה במצעדי הפזמונים.
ב-2012 גילם את דמותו של עמרם מופרדי בסרטו של בני תורתי "הבלדה לאביב הבוכה".
בשנת 2012 יצא אלבומו של טסה "סחרחורת". התפרסמו ממנו הסינגלים "עם חלומות כאלה", "יש בינינו בית", "צריך" ו"לא מרגיש טוב". בכתיבת חלק מהשירים באלבום שיתף פעולה עם המשורר אלי אליהו, וכן עם עמיר לב ועם גלעד כהנא. את שיר הנושא של האלבום הלחין טסה על פי מילים של המשורר אלכסנדר פן. באותה שנה התארח באלבומו של שלמה ארצי "אושר אקספרס", ושר בדואט עם ארצי את השיר "לתת ולקחת".
בשנת 2013, דודו טסה הוציא לאור את הסינגל "Wayak" יחד עם מפיק הדאבסטפ הישראלי Borgore. ב-22 באוגוסט, השניים הופיעו ביחד בתל אביב. בסוף אותה שנה התפרסמו שני שירים שהלחין טסה לזמרים אחרים: השירים "לב חופשי", שהלחין למוקי, ו"אל תאמר", שהלחין ליובל דיין. טסה אף כתב את מילות השיר "אל תאמר", יחד עם גלעד כהנא. בדצמבר 2013 הוציא את הסינגל "גרמניה".