Quantum Monte Carlo method in detai

Quantum Monte Carlo method in details.
I.
CONTINUOUS AND DISCRETE HUBBARD-STRATONOVICH TRANSFORMATIONS
The HS transformation is based on identity :
Z+∞
11
exp{ A2} = (2)−1/2 dx exp{− x 2 − xA} (1)
22
−∞
This identity allows to map interacting fermion system onto the system of noninteracting fermions coupled with fluctuating auxilary field. One uses a path integral formulation of a problem to eliminate the interaction term. We divide the imaginary time interbal [0,] into Lequal subintervals of width
τ : L
τ = .
After doing that we can rewrite equation for the partitionfunction Z as:
2⎡ 3⎤
LZβ
Z = T re−(H0+H1) = Tr e −
(H0+H1) ≈ Tr 4Tτ exp 4− d(H0 + H1)5⎦ + O((
)2) (2) i=1
0
Now we can describe notion continuous and descrete HB.
A.
Continuous
Let us consider the hamiltonian with interaction term in the following form:
1
Hi = U [nini+1 − (ni + ni+1)], (3)
2
i
then using well-known relation for the occupation numbers:
11
nini+1 = − (ni − ni+1)2 +(ni + ni+1) (4)
22
we can rewrite the interaction part of the hamiltonian as
1 U
Hi = U [nini+1 − (ni + ni+1)] = − (ni + ni+1)2 . (5)
22
ii
Now using the HS trasformation we get for each time interval:
"� β � N� β � �
X� √
2
exp dτ U (ni + ni+1)2 = (2)−N/2 dxi,i+1 exp dτ − 1 xi,i+1 − xi,i+1 U(ni + ni+1) , 0 2 0 2
ii=1
where xi,i+1 is a bosonic field associated with the link i → i +1. Now the Hamiltonian is has quadratic form in fermion operators, the trace over the fermionic degree of freedom can be taken analytically, and the partition function takes the form:
� N"� β
Z = (2)−N/2 dxi,i+1e −Sb det 1+ Tτ dh() ,
0
i=1
� β �
12
where Sb = dτ xi,i+1,is the bosonic part of the action.
0 i 2
1
h(τ ) is the N × N matrix, where N is the size of the system.
Let us define N × N matrix for each time slice:
Bl = exp(−
h(l)).
Using this definition we can write
� N
Z = (2)−NL/2 dxie −Sb det[1 + BLBL−1...B1] . i=1
B.
Descrete
Main Idea: fermion occupancies can take only the values 0 and 1 and the files that can take only two values must be enough to eliminate the fermion interaction.
We use the following identity:
1
−
Un"n#+(
e
U/2)(n"+n#) = 2
s(n"e
−n#),
(6)

s=±1

where λ = arccosh(e
U/2) and the discrete field s is an Ising-like variable taking the values ±1. Taking the trace over fermion degree of freedom we get:
Z = det 1+ Tτ −
h(l) ,
s=±1 l
where h(l) is the same N × N matrix, but with descrete variables s instead continuous x. Using the same expression for Bl we get the following fomr for the partition function:
Z = det [1 + BLBL−1...B1] . sl =±1
(Notice: There is NO bosonic part!)
C.
A few words about Metropolis algorithm.
Now we need to go over all spin configurations and compute the corresponding action. While walking we accept or reject new configuration in a way that assures that once the equiliblium has been reached the probability of a particular field configuration is proportiaonal to exp(−S), where S is the action. For the fermionic system the effective action exp(−S) = exp(−Sb) det(M) is non-local and is compuatation is very time consuming.
2
II.
METHODS OF SOLUTION
As explained in the previous sections, lattice models of correlated fermions can be mapped, in the limit of infinite coordination number, onto a single-impurity model which has to satisfy a self-consistency condition. This condition specifies, for a given lattice, the relation between the Weiss function G0 (entering the impurity model effective action) and the local Green’s function G. On the other hand, G itself is obtained by solving the effective impurity model. Hence, we have a coupled problem to solve for both G and G0. In practice, all methods deal with this coupled problem in an iterative manner: the local Green’s function is obtained by solving the impurity effective action given a G0 (in the first step a guess for G0 is used). Then, the calculated G (and the self-energy ) is used as an input into the self-consistency condition to produce a new Weiss function G0. The process is iterated until a converged solution (G, G0) is reached. Knowing this converged solution, all k-dependent response functions can be constructed from the impurity model response functions.
To be definite, we concentrate in this section on the case in which the impurity model effective action has the form given by:
� β � β � β
+
Seff = − dτ dτ � cσ (τ )G0 −1(τ − 0)c(τ 0)+ U dn"()n#(τ ) (7)
00 0
σ
that corresponds to the local site of the single-impurity Anderson model. In the LISA framework, the {c, c+}operators are associated with a local fermionic variable of the lattice problem.
The most difficult step in the iterative procedure is the repeated solution of the impurity model, for an essentially arbitrary G0 (i.e. an arbitrary conduction electron effective bath). Even though spatial degrees of freedom have been eliminated, the impurity model remains a true many-body problem. It is crucial to use reliable methods to handle it

النتائج (العربية) 1:

الكم طريقة Carlo مونتي في التفاصيل. أنا. التحولات المستمرة والمنفصلة هوبارد--ستراتونوفيتش تحول النظام المنسق على الهوية: Z + ∞ 11 أكسب {A2} = (2) 1/2 dx أكسب {− x 2 − xA} (1)22 −∞ هذه الهوية يسمح لتعيين نظام فرميون المتفاعلة على نظام نونينتيراكتينج الفرميونات مقترنة بتقلب ميلشيا الميدانية. واحد يستخدم صيغة مسار لا يتجزأ من مشكلة القضاء على مصطلح التفاعل. نحن تقسيم الوقت وهمي إينتيربال [0]، سوبينتيرفالس ليكال من τ العرض: L τ =. بعد القيام بذلك نحن يمكن كتابة معادلة بارتيتيونفونكشن Z ك: 2⎡ 3⎤ LZΒ Z = T re− (H0 + H1) = Tr e − (H0 + H1) ≈ Tr 4Tτ أكسب 4− د (H0 + H1) 5⎦ + O (() 2) (2) أنا = 1 0 الآن يمكننا وصف مفهوم المستمر و descrete غبطة. ألف المستمر فلننظر هاميلتون مع مصطلح التفاعل بالشكل التالي: 1 مرحبا ش = [نيني + 1 − (ني + ني + 1)]، (3)2 أنا ثم استخدام علاقة معروفة جيدا للأرقام الاحتلال: 11 نيني + 1 = − (ني − ني + 1) 2 (ني ني + 1) (4)22 نحن يمكن كتابة جزء هاملتون كالتفاعل 1 U مرحبا ش = [نيني + 1 − (ني + ني + 1)] = − (ني + ني + 1) 2. (5)22 ثانيا وتستخدم الآن تراسفورميشن HS نحصل على كل الفاصل الزمني: "� β � N� β � � X √ 2أكسب dτ ش (ني + ني + 1) 2 = (2) −N/2 dxi، أنا + 1 أكسب dτ − 1 الحادي عشر، أنا حادي عشر 1 −، وأنا + + 1 يو (ني ني + + 1)، 0 2 0 2 الثاني = 1 where xi,i+1 is a bosonic field associated with the link i → i +1. Now the Hamiltonian is has quadratic form in fermion operators, the trace over the fermionic degree of freedom can be taken analytically, and the partition function takes the form: � N"� β Z = (2)−N/2 dxi,i+1e −Sb det 1+ Tτ dh() , 0i=1 � β � 12where Sb = dτ xi,i+1,is the bosonic part of the action. 0 i 2 1 h(τ ) is the N × N matrix, where N is the size of the system. Let us define N × N matrix for each time slice: Bl = exp(−
h(l)). Using this definition we can write � NZ = (2)−NL/2 dxie −Sb det[1 + BLBL−1...B1] . i=1 B. Descrete Main Idea: fermion occupancies can take only the values 0 and 1 and the files that can take only two values must be enough to eliminate the fermion interaction. We use the following identity: 1−
Un"n#+(
e U/2)(n"+n#) = 2 s(n"e −n#), (6) s=±1 where λ = arccosh(e
U/2) and the discrete field s is an Ising-like variable taking the values ±1. Taking the trace over fermion degree of freedom we get: Z = det 1+ Tτ −
h(l) , s=±1 l where h(l) is the same N × N matrix, but with descrete variables s instead continuous x. Using the same expression for Bl we get the following fomr for the partition function: Z = det [1 + BLBL−1...B1] . sl =±1 (Notice: There is NO bosonic part!) C. A few words about Metropolis algorithm. Now we need to go over all spin configurations and compute the corresponding action. While walking we accept or reject new configuration in a way that assures that once the equiliblium has been reached the probability of a particular field configuration is proportiaonal to exp(−S), where S is the action. For the fermionic system the effective action exp(−S) = exp(−Sb) det(M) is non-local and is compuatation is very time consuming. 2 II. METHODS OF SOLUTION As explained in the previous sections, lattice models of correlated fermions can be mapped, in the limit of infinite coordination number, onto a single-impurity model which has to satisfy a self-consistency condition. This condition specifies, for a given lattice, the relation between the Weiss function G0 (entering the impurity model effective action) and the local Green’s function G. On the other hand, G itself is obtained by solving the effective impurity model. Hence, we have a coupled problem to solve for both G and G0. In practice, all methods deal with this coupled problem in an iterative manner: the local Green’s function is obtained by solving the impurity effective action given a G0 (in the first step a guess for G0 is used). Then, the calculated G (and the self-energy ) is used as an input into the self-consistency condition to produce a new Weiss function G0. The process is iterated until a converged solution (G, G0) is reached. Knowing this converged solution, all k-dependent response functions can be constructed from the impurity model response functions. To be definite, we concentrate in this section on the case in which the impurity model effective action has the form given by: � β � β � β +Seff = − dτ dτ � cσ (τ )G0 −1(τ − 0)c(τ 0)+ U dn"()n#(τ ) (7) 00 0σ that corresponds to the local site of the single-impurity Anderson model. In the LISA framework, the {c, c+}operators are associated with a local fermionic variable of the lattice problem. The most difficult step in the iterative procedure is the repeated solution of the impurity model, for an essentially arbitrary G0 (i.e. an arbitrary conduction electron effective bath). Even though spatial degrees of freedom have been eliminated, the impurity model remains a true many-body problem. It is crucial to use reliable methods to handle it

النتائج (العربية) 2:

طريقة الكم مونتي كارلو في التفاصيل.
أولا
المستمر ومنفصلة HUBBARD-STRATONOVICH TRANSFORMATIONS
يستند تحول النظام المنسق على الهوية:
Z + ∞
11
إكسب {A2} = (؟ 2) - 1/2 DX إكسب {- س 2 - XA} ( 1)
22
-∞
هذه الهوية تسمح لرسم خريطة التفاعل نظام فرميون على نظام noninteracting الفرميونات إلى جانب تذبذب الحقل auxilary. واحد يستخدم صياغة مسار لا يتجزأ من مشكلة للقضاء على المدى التفاعل. نقسم الوقت وهمي interbal [0] في subintervals Lequal من عرض τ:؟ L τ =.
بعد القيام نتمكن من إعادة كتابة المعادلة لZ partitionfunction على النحو التالي:
2⎡ 3⎤
LZβ
Z = T إعادة (H0 + H1 ) = آر ه - ؟؟ (H0 + H1) ≈ آر 4Tτ إكسب 4- د (H0 + H1) 5⎦ + O ((؟؟؟) 2) (2) ط = 1
0
الآن يمكننا وصف فكرة مستمرة و descrete HB.
A.
مستمر
دعونا ننظر في هاملتون مع مصطلح التفاعل في الشكل التالي:
1
مرحبا = U [نيني + 1 - (ني ني + + 1)]، (3)
2
ط
ثم استخدام العلاقة المعروفة ل الأرقام الاحتلال:
11
نيني + 1 = - (ني - ني + 1) 2 + (ني + ني + 1) (4)
22
يمكننا إعادة كتابة الجزء تفاعل هاملتون كما
1 يو
مرحبا = U [نيني + 1 - ( ني ني + + 1) = - (ني ني + + 1) 2. (5)
22
ب
الآن باستخدام trasformation HS نحصل لكل الفاصل الزمني:
؟ "β β N
X √
2
إكسب dτ U (ني ني + + 1) 2 = (؟ 2) - N / 2 DXI، I + 1 عملي dτ - 1 الحادي عشر، ط + 1 - الحادي عشر، ط + 1 يو (ني + ني + 1)، 0 2 0 2
ب = 1
حيث الحادي عشر، ط + 1 هو حقل bosonic المرتبطة رابط ط ط → +1 الآن هو قد شكل تربيعي في شركات فرميون، وأثر على درجة fermionic من الحرية يمكن أن تؤخذ في هاملتون التحليلية، ويأخذ وظيفة التقسيم شكل:
N "β
(؟ 2) Z = -N / 2 DXI، ط + 1E -Sb ديت 1+ Tτ د؟ ح (؟)،
0
ط = 1
β
12
حيث بينالي الشارقة = dτ الحادي عشر، ط + 1، هو جزء bosonic من العمل.
0 ط 2
1
. ح (τ) هو مصفوفة N × N، حيث N هو حجم النظام
دعونا نحدد N × N مصفوفة لكل شريحة الوقت:
. أز = إكسب (-؟ ؟؟ ح (ل))
عن طريق هذا تعريف نستطيع كتابة
N
Z = (2؟) - NL / 2 dxie -Sb ديت [1 + BLBL-1 ... B1]. ط = 1
ب
Descrete
الرئيسية فكرة: إشغال فرميون يمكن أن تأخذ فقط القيم 0 و 1 و الملفات التي يمكن أن اثنين فقط من القيم يجب أن تكون كافية للقضاء على التفاعل فرميون.
نحن نستخدم هوية التالية:
1
- ؟؟ الامم المتحدة "ن # + (؟؟ ه
U / 2) (ن "+ ن #) = 2
ق (ن" ه
-n #)،
(6) ق = ± 1 حيث λ = arccosh (ه ؟؟ U / 2) و ومنفصلة مجال الصورة هو متغير إيسينج مثل أخذ القيم ± 1 أخذ أثر على درجة فرميون الحرية نحصل على: Z = ديت 1+ Tτ - ؟؟ ح (ل)، ق = ± 1 لتر حيث ح (ل ) هو نفس N × N مصفوفة، ولكن مع descrete المتغيرات ق س بدلا مستمر باستخدام نفس التعبير عن أز نحصل على fomr التالية للحصول على وظيفة التقسيم: Z = ديت [1 + BLBL-1 ... B1] SL. = ± 1 (ملاحظة: لا يوجد أي جزء bosonic!) C. بضع كلمات حول متروبوليس الخوارزمية. ونحن الآن بحاجة للذهاب على كافة تكوينات تدور وحساب العمل المقابلة في حين أن المشي نحن نقبل أو نرفض التكوين الجديد بطريقة تضمن. أنه بمجرد أن تم الوصول إلى equiliblium احتمال تكوين مجال معين هو proportiaonal لإكسب (-S)، حيث S هو العمل. لنظام fermionic إكسب إجراءات فعالة (-S) = إكسب (-Sb) ديت (M) هو غير المحليين وغير compuatation وقتا طويلا جدا. 2 الثانية. طرق الحل كما هو موضح في الأجزاء السابقة، ونماذج شعرية من الفرميونات المترابطة يمكن تعيينها، في الحد من عدد لا حصر له التنسيق، على نموذج من الشوائب واحد التي لديها لتلبية شرط الاتساق الذاتي. تحدد هذه الحالة، لشعرية معينة، والعلاقة بين وظيفة G0 فايس (دخول نموذج النجاسة إجراءات فعالة) وظيفة الأخضر المحلي G. من ناحية أخرى، يتم الحصول G نفسها من خلال حل نموذج النجاسة فعالة. وبالتالي، لدينا مشكلة بالإضافة إلى حل لكل G وG0. في الممارسة العملية، عن طرق التعامل مع هذه المشكلة بالإضافة بطريقة متكررة: يتم الحصول على وظيفة الأخضر المحلية من خلال حل الشوائب إجراءات فعالة نظرا لG0 (في الخطوة الأولى يتم استخدام تخمين لG0). ثم، يتم استخدام G محسوب (والطاقة الذاتية؟) كمدخل في حالة الاتساق الذاتي لإنتاج وظيفة فايس G0 الجديد. وكرر العملية حتى يتم التوصل إلى حل المتقارب (G، G0). . هذا مع العلم حل المتقاربة، يمكن بناؤها جميع وظائف استجابة تعتمد على ك من وظائف استجابة النموذج الشوائب ليكون واضح، ونحن نركز في هذا القسم على الحالة التي النموذج النجاسة إجراءات فعالة لديه شكل معين من قبل: β β β + يقوله سيف = - dτ dτ cσ (τ) G0 -1 (τ - 0)؟؟؟ (؟) ج (τ 0) + U د ن "ن # (τ) (7) 00 0 σ أن يتوافق إلى الموقع المحلي من طراز أندرسون النجاسة واحد. وفي إطار ليزا، ترتبط {ج، ج +} مشغلي مع متغير fermionic المحلي للمشكلة شعرية. والخطوة الأكثر صعوبة في إجراء التكرارية هي الحل المتكرر لل نموذج النجاسة، لG0 التعسفي أساسا (أي التعسفي التوصيل الإلكترون حمام فعالة). وعلى الرغم من أن تم القضاء على درجة المكانية للحرية، لا يزال نموذج النجاسة مشكلة للجسم العديد من الحقيقية. ومن الأهمية بمكان أن استخدام وسائل موثوق بها للتعامل معها